On the occasion of his 60th birthday.

Joseph Semenovich Krasil'shchik was born on February 10, 1948 in Moscow (USSR).

He attended one of the best Moscow high schools with specialization in Physics and Mathematics. The school (#52) had rich ties with Moscow State University and he entered its Department of Mechanics and Mathematics in 1966 after graduating the school with honors. Among the department faculty at that time there was a number of excellent mathematicians: Kolmogorov, Manin, Arnold, Novikov, Kurosh, Gelfand to name but a few. In the university Krasil'shchik specialized in geometry and topology under the direct of A.M. Vinogradov. He graduated from the university in 1971.

Being an active member of the famous Vinogradov’s seminar, he followed his mentor when the latter switched his scientific studies to applications of algebraic topology and differential geometry to differential equations. And it became the principal area of research for Krasil'shchik ever since. He made a considerable contribution in the field.

From the very first papers till now a subject of constant interest of Krasil'shchik is the algebraic aspects of differential calculus. His works in this field include Hamiltonian formalism in (super)commutative algebras; algebraic study of differential equations; generalization of the δ-Poincaré lemma; algebraic theory of Frölicher-Nijenhuis, Richardson-Nijenhuis, and Schouten brackets.

Joseph Krasil'shchik and his teacher and collaborator Alexander Vinogradov are the principal founders of the nonlocal theory in geometry of differential equations. The central notion of this theory—a covering—is a key to decipher the structure of Bäcklund transformations, zero-curvature representations, Miura transformation, recursion operators, nonlocal symmetries, conservation laws, and Hamiltonian structures, Estabrook-Wahlquist algebras, etc.

In 1972–1989 Krasil'shchik worked as a Researcher at the All-Union Institute for Scientific and Technology Information (USSR Academy of Sciences). There he obtained his Ph.D. degree in Information Science. Yet the institute loose discipline allowed finding time for studies in abstract mathematics. Krasil'shchik publications of that period dealt with hamiltonian cohomologies of canonical algebras and nonlocal symmetries. These articles laid a foundation for his further research in the field.

From 1989 to 2003 Krasil'shchik worked at the Moscow Institute for Municipal Economy, first as senior lecturer and later as professor. After he obtained the Doctor of Science degree in Physics and Mathematics at the Moscow State University, 1997 he also took a position of the full professor at the Independent University of Moscow and still holds it.

It was a period of a great scientific activity. The publications by Krasil'shchik treats such topics as cohomology background in geometry of PDE, deformations and integrable systems, Bäcklund transformations, the connection between integrability and supersymmetry, etc. He was invited to short-time visiting positions at University of Tromso, Norway; University of Twente, the Netherlands; Erwin Schrodinger Inst. for Math. Physics, Austria; University of Seville, Spain; the Lille University, France; Bar-Ilan University, Israel; Universities of Florence, Salerno, and Lecce, Italy, etc. He took part (as a plenary lecturer) in numerous conferences around the world; coauthored five monographs in a collaboration with A.V. Bocharov, V.N. Chetverikov, S.V. Duzhin, N.G. Khor'kova, P.H.M Kersten, V.V. Lychagin, A.V. Samokhin, Yu.N.Torkhov, A.M. Verbovetsky, A.M. Vinogradov.

In 1990th Krasil'shchik began a long, fruitful collaboration with Paul Kersten from Twente University in Enschede, Holland. Together, they developed the theory of deformations of differential equations into a tool for computing major invariants of differential equations, such as recursion operators and Hamiltonian operators. Krasil'shchik’s C-cohomology, Kersten’s REDUCE package, and nonlocal theory all together boiled down to a beautiful geometric theory of recursion operators of PDEs, which was summarized in the monograph “Symmetries and recursion operators for classical and supersymmetric differential equations” (2000).

In 2004–2007 Krasil'shchik had a position of a full professor at the Moscow State Technical University of Civil Aviation. Since 2007 he is a full professor at the Russian State University for the Humanities. In 2007 he also had a short-time visiting positions at University of Angers, France. In this period Krasil'shchik’s research concentrates mainly on Hamiltonian and symplectic structures, recursions, and hierarchies. The specter of application includes KdV-mKdV system, dispersionless Boussinesq type equation, Monge-Ampère equation, supersymmetric KdV equation, Camassa-Holm equation, etc. Overall, the list of his papers include more than 70 papers.

In recent years, Krasil'shchik undertook a project to extend these results to (non)local Hamiltonian and symplectic operators. He carries out this project in collaboration, by now, with V. Golovko, S. Igonin, P. Kersten, A. Verbovetsky, and R. Vitolo.

Krasil'shchik has a prominent place in the mathematical community. For many years he heads a famous “Krasil'shchik’s” research seminar at the Independent University of Moscow. It produces ideas, aspirants, international cooperation; and it spreads the elevated spirit of a pure mathematical research at the times of collapsing mathematical education. Krasil'shchik is a member of Moscow Mathematical Society and American Mathematical Society. He is an editor to eight volumes of collected works.

Outside mathematics he is a passionate angler. His other hobbies are extreme water tourism in wilderness of Siberia, Polar Urals, etc., and also classical music and jazz. His family life is a source of lasting happiness.

We, friends and colleagues of Joseph Semenovich Krasil'shchik wish him good health, happiness and new trophies: in fishing and mathematics.

V. Goldberg, S. Igonin, B. Kruglikov, A. Kushner, V. Lychagin, V. Rubtsov, A. Samokhin, A. Verbovetsky, R. Vitolo.

Mathematical publications of Joseph Krasil’shchik

Books

A. M. Vinogradov, I. S. Krasil'shchik, and V. V. Lychagin, Primenenie nelinejnykh differentsial'nykh uravnenij v grazhdanskoj aviatsii, MIIGA, Moscow, 1977 (Russian).

A. M. Vinogradov, I. S. Krasil'shchik, and V. V. Lychagin, Geometriya nelineinykh differentsialnykh uravnenii, MIEM, Moscow, 1982 (Russian).

A. M. Vinogradov, I. S. Krasil'shchik, and V. V. Lychagin, Vvedenie v geometriyu nelineinykh differentsialnykh uravnenii, Nauka, Moscow, 1986 (Russian).

I. S. Krasil'shchik, V. V. Lychagin, and A. M. Vinogradov, Geometry of jet spaces and nonlinear partial differential equations, Gordon and Breach, 1986.

A. V. Bocharov, A. M. Verbovetsky, A. M. Vinogradov (editor), S. V. Duzhin, I. S. Krasil'shchik (editor), A. V. Samokhin, Yu. N. Torkhov, N. G. Khor'kova, and V. N. Chetverikov, Simmetrii i zakony sokhraneniya uravnenij matematicheskoj fiziki, Factorial, Moscow, 1997 (Russian), Second edition 2005.

I. S. Krasil'shchik and A. M. Verbovetsky, Homological methods in equations of mathematical physics, Open Education & Sciences, Opava, 1998, arXiv:math/9808130.

A. V. Bocharov, V. N. Chetverikov, S. V. Duzhin, N. G. Khor'kova, I. S. Krasil'shchik (editor), A. V. Samokhin, Yu. N. Torkhov, A. M. Verbovetsky, and A. M. Vinogradov (editor), Symmetries and conservation laws for differential equations of mathematical physics, AMS, 1999.

I. S. Krasil'shchik and A. M. Verbovetsky, Gomologicheskie metody v geometrii differentsial'nykh uravnenij, IUM, Moscow, 1999, Lecture notes, (Russian).

I. S. Krasil'shchik and P. H. M. Kersten, Symmetries and recursion operators for classical and supersymmetric differential equations, Kluwer, 2000.

I. S. Krasil'shchik, P. H. M. Kersten, M. Marvan, and Verbovetsky A. M., Gomologicheskie metody geometrii differentsial'nykh uravnenij, MCCME, Moscow, 2008 (Russian), to appear.

Book Translations

Zh. Pommare, Sistemy uravnenii s chastnymi proizvodnymi i psevdogruppy Li, Mir, Moscow, 1983 (Russian), Translated from the English by A. V. Bocharov, M. M. Vinogradov and I. S. Krasil'shchik, Translation edited and with a preface and an appendix by A. M. Vinogradov.

A. M. Vinogradov, Cohomological analysis of partial differential equations and secondary calculus, Translations of Mathematical Monographs, vol. 204, AMS, 2001, Translated from the Russian manuscript by Joseph Krasil'shchik.

Jet Nestruev, Smooth manifolds and observables, Graduate Texts in Mathematics, vol. 220, Springer, 2003, Joint work of A. M. Astashov, A. B. Bocharov, S. V. Duzhin, A. B. Sossinsky, A. M. Vinogradov, and M. M. Vinogradov. Translated from the 2000 Russian edition by A. B. Sossinsky, I. S. Krasil'shchik, and S. V. Duzhin.

Books and Collections Editing

P. H. M. Kersten and I. S. Krasil'shchik (eds.), Geometric and algebraic structures in differential equations, Kluwer, 1995, Papers from the Workshop on Algebra and Geometry of Differential Equations held in Enschede, 1993, Reprint of Acta Appl. Math. 41 (1995), no. 1-3.

I. S. Krasil'shchik and A. M. Vinogradov (eds.), Algebraic aspects of differential calculus, Kluwer, 1997, Acta Appl. Math. 49 (1997), no. 3.

Marc Henneaux, Joseph Krasil'shchik, and Alexandre Vinogradov (eds.), Secondary calculus and cohomological physics, Contemporary Mathematics, vol. 219, AMS, 1998.

B. P. Komrakov, I. S. Krasil'shchik, G. L. Litvinov, and A. B. Sossinsky (eds.), Lie groups and Lie algebras. Their representations, generalisations and applications, Mathematics and its Applications, vol. 433, Kluwer, 1998.

I. S. Krasil'shchik and A. M. Vinogradov (eds.), Geometrical aspects of nonlinear differential equations, Kluwer, 1999, Acta Appl. Math. 56 (1999), no. 2-3.

Joseph Krasil'shchik (ed.), Symmetries of differential equations and related topics, Kluwer, 2002, Acta Appl. Math. 72 (2002), no. 1-2.

Joseph Krasil'shchik (ed.), Geometry of PDE in action: zero-curvature representations, recursion operators, and control systems, Kluwer, 2004, Acta Appl. Math. 83 (2004), no. 1-2.

I. S. Krasil'shchik and B. S. Kruglikov (eds.), Algebra and geometry of PDEs, Springer, 2008, Acta Appl. Math. 101 (2008), no. 1-3.

Papers and other publications

1974

I. S. Krasil'shchik, Gamil'tonov formalizm v kanonicheskikh kol'tsakh, Voronezh Winter Math. School, Voronezh State Univ., 1974, pp. 23–24 (Russian).

1975

A. M. Vinogradov and I. S. Krasil'shchik, What is Hamiltonian formalism?, Russ Math. Surv. 30 (1975), no. 1, 177–202, Russian original: Uspehi Mat. Nauk 30 (1975), no. 1, 173–198; also in Integrable systems: selected papers, London Math. Soc. Lect. Note Ser., 60, 1981, 241–266.

1980

I. S. Krasil'shchik, Hamiltonian cohomology of canonical algebras, Sov. Math. Dokl. 21 (1980), 625–629, Russian original: Dokl. Akad. Nauk SSSR 251 (1980), 1306–1309.

A. M. Vinogradov and I. S. Krasil'shchik, A method of calculating higher symmetries of nonlinear evolutionary equations, and nonlocal symmetries, Sov. Math. Dokl. 22 (1980), 235–239, Russian original: Dokl. Akad. Nauk SSSR 253 (1980), 1289–1293.

1984

A. M. Vinogradov and I. S. Krasil'shchik, On the theory of nonlocal symmetries of nonlinear partial differential equations, Sov. Math. Dokl. 29 (1984), 337–341, Russian original: Dokl. Akad. Nauk SSSR 275 (1984), 1044–1049.

I. S. Krasil'shchik and A. M. Vinogradov, Nonlocal symmetries and the theory of coverings: an addendum to Vinogradov’s “Local symmetries and conservation laws” [Acta Appl. Math. 2 (1984), 21–78], Acta Appl. Math. 2 (1984), 79–96.

1986

I. S. Krasil'shchik, Pochemu preobrazovaniya Beklunda obrazuyut gruppu?, Proceedings of the seminar on the algebra and geometry of differential equations (Moscow), MSU, 1986 (Russian).

1987

I. S. Krasil'shchik, Del'ta-lemma Puankare, Mimeographed notes, 1987.

1988

I. S. Krasil'shchik, Schouten bracket and canonical algebras, Global analysis—studies and applications, III, Lecture Notes in Math., vol. 1334, Springer, 1988, pp. 79–110, Russian original: Global'nyj analiz i matematicheskaya fizika, Nov. Global'nom anal., Voronezh, 1987, 73–94.

1989

I. S. Krasil'shchik and A. M. Vinogradov, Nonlocal trends in the geometry of differential equations: symmetries, conservation laws, and Bäcklund transformations, Acta Appl. Math. 15 (1989), 161–209.

1991

I. S. Krasil'shchik, Supercanonical algebras and Schouten brackets, Math. Notes 49 (1991), no. 1, 50–54, Russian original: Mat. Zametki 49 (1991), no. 1, 70–76.

1992

I. S. Krasil'shchik, Algebry deformatsij differentsial'nykh uravnenij i operatory rekursii, Proceedings XXX MIKKHiS Scientific Conference (Moscow), MIKKHiS, 1992, pp. 18–21 (Russian).

I. S. Krasil'shchik, Differential operators of constant growth and Jacobi structures of infinite order, Publ. IRMA Lille 30 (1992), no. XI, 1–21.

I. S. Krasil'shchik, Some new cohomological invariants for nonlinear differential equations, Differential Geom. Appl. 2 (1992), 307–350.

1993

I. S. Krasil'shchik, Some new cohomological invariants of nonlinear differential equations. I, Russ. Math. 37 (1993), no. 1, 25–35, Russian original: Izv. Vyssh. Uchebn. Zaved. Mat. 1993, no. 1, 27–37.

I. S. Krasil'shchik, Some new cohomological invariants of nonlinear differential equations. II, Russ. Math. 37 (1993), no. 2, 52–65, Russian original: Izv. Vyssh. Uchebn. Zaved. Mat. 1993, no. 2, 54–68.

I. S. Krasil'shchik, Lie algebra structures for the symmetries of differential equations possessing recursion operators, ESI Preprint 47 (1993).

I. S. Krasil'shchik, An algebraic model for characteristics of differential equations, ESI Preprint 48 (1993).

1994

I. S. Krasil'shchik and P. H. M. Kersten, Deformations and recursion operators for evolution equations, Geometry in partial differential equations, World Sci., 1994, pp. 114–154, Also: Memorandum of the Twente University, 1992, no. 1104.

1995

I. S. Krasil'shchik, Hamiltonian formalism and supersymmetry for nonlinear differential equations, ESI Preprint 257 (1995).

I. S. Krasil'shchik, Notes on coverings and Bäcklund transformations, ESI Preprint 260 (1995).

I. S. Krasil'shchik and P. H. M. Kersten, Graded differential equations and their deformations: a computational theory for recursion operators, Acta Appl. Math. 41 (1995), 167–191.

P. H. M. Kersten and I. S. Krasil'shchik, Graded Frölicher-Nijenhuis brackets and the theory of recursion operators for super differential equations, The interplay between differential geometry and differential equations, Amer. Math. Soc. Transl. Ser. 2, vol. 167, AMS, 1995, pp. 91–129, Also: Memorandum of the Twente University, 1993, no. 1147.

1996

I. S. Krasil'shchik, A supersymmetry approach to Poisson structures over differential equations, Differential geometry and applications, Masaryk Univ., Brno, 1996, pp. 381–391.

I. S. Krasil'shchik, Poisson structures on nonlinear evolution equations, Memorandum of the Twente University 1320 (1996).

1997

I. S. Krasil'shchik, Calculus over commutative algebras: a concise user guide, Acta Appl. Math. 49 (1997), 235–248.

I. S. Krasil'shchik, Poincaré δ-lemma for smooth algebras, Acta Appl. Math. 49 (1997), 249–255.

I. S. Krasil'shchik, Characteristics of linear differential operators over commutative algebras, Acta Appl. Math. 49 (1997), 257–269.

I. S. Krasil'shchik, Algebraicheskie metody v teorii integriruemykh sistem, MSU, Moscow, 1997, Dr. Sci. Thesis (Russian).

1998

I. S. Krasil'shchik, Symmetries and recursion operators for soliton equations, Nonlinearity and geometry, PWN, Warsaw, 1998, pp. 141–156.

Joseph Krasil'shchik, Cohomology background in geometry of PDE, Secondary calculus and cohomological physics, Contemp. Math., vol. 219, AMS, 1998, pp. 121–139.

I. S. Krasil'shchik, Algebras with flat connections and symmetries of differential equations, Lie groups and Lie algebras. Their representations, generalisations and applications, Math. Appl., vol. 433, Kluwer, 1998, pp. 407–424.

1999

Joseph Krasil'shchik in collaboration with Barbara Prinari, Lectures on linear differential operators over commutative algebras. (The 1st Italian diffiety school, July, 1998), Diffiety Inst. Preprint Series 1 (1999), DIPS 1/99.

I. S. Krasil'shchik, Cohomological approach to Poisson structures on nonlinear evolution equations, Lobachevskii J. Math. 3 (1999), 127–145 (electronic).

Joseph Krasil'shchik and Michal Marvan, Coverings and integrability of the Gauss-Mainardi-Codazzi equations, Acta Appl. Math. 56 (1999), 217–230, arXiv:solv-int/9812010.

2000

Joseph Krasil'shchik, Integrability and supersymmetry, RIMS Kokyuroku 1150 (2000), 147–152.

Joseph Krasil'shchik, On one-parametric families of Bäcklund transformations, Diffiety Inst. Preprint Series 1 (2000), DIPS 1/2000.

I. S. Krasil'shchik, Deformations and integrable systems, Proc. Conf. Differential Equations and Related Topics dedicated to 100th Anniversary of birthday of I. G. Petrovskii, MSU, Moscow, 2001.

2002

Sergei Igonin and Joseph Krasil'shchik, On one-parametric families of Bäcklund transformations, Lie groups, geometric structures and differential equations—one hundred years after Sophus Lie (Kyoto/Nara, 1999), Adv. Stud. Pure Math., vol. 37, Math. Soc. Japan, Tokyo, 2002, pp. 99–114, arXiv:nlin/0010040.

Paul Kersten and Joseph Krasil'shchik, Complete integrability of the coupled KdV-mKdV system, Lie groups, geometric structures and differential equations—one hundred years after Sophus Lie, Adv. Stud. Pure Math., vol. 37, Math. Soc. Japan, 2002, pp. 151–171, arXiv:nlin/0010041.

Joseph Krasil'shchik, Geometry of differential equations: a concise introduction, Acta Appl. Math. 72 (2002), 1–17.

Iosif Krasil'shchik, A simple method to prove locality of symmetry hierarchies, Diffiety Inst. Preprint Series 9 (2002), DIPS 09/2002.

P. H. M. Kersten and I. S. Krasil'shchik, From recursion operators to Hamiltonian structures. The factorization method, Memorandum of the Twente University 1624 (2002), Lectures delivered at the MRI Spring School “Frobenius Manifolds in Mathematical Physics”.

P. H. M. Kersten, I. S. Krasil'shchik, and A. M. Verbovetsky, An extensive study of the N=1 supersymmetric KdV equation, Memorandum of the Twente University 1656 (2002).

2003

S. Igonin, P. H. M. Kersten, and I. Krasil'shchik, On symmetries and cohomological invariants of equations possessing flat representations, Differential Geom. Appl. 19 (2003), 319–342, arXiv:math/0301344.

P. H. M. Kersten, I. S. Krasil'shchik, and A. M. Verbovetsky, A geometric approach to Hamiltonian structures for evolution equations, Proc. Int. Conf. Kolmogorov and Contemporary Mathematics (Moscow), 2003, pp. 815–816.

I. S. Krasil'shchik, A. M. Verbovetsky, and P. H. M. Kersten, Nonlocal Hamiltonian, symplectic and recursion structures for N=1 supersymmetric KdV equation, Proc. Int. Conf. Kolmogorov and Contemporary Mathematics, 2003, pp. 817–818.

I Krasil'shchik, The long exact sequence of a covering: three applications, Diffiety Inst. Preprint Series 6 (2003), DIPS 6/2003.

2004

P. Kersten, I. Krasil'shchik, and A. Verbovetsky, Hamiltonian operators and l*-coverings, J. Geom. Phys. 50 (2004), 273–302, arXiv:math/0304245.

P. Kersten, I. Krasil'shchik, and A. Verbovetsky, (Non)local Hamiltonian and symplectic structures, recursions and hierarchies: a new approach and applications to the N=1 supersymmetric KdV equation, J. Phys. A 37 (2004), 5003–5019, arXiv:nlin/0305026.

P. Kersten, I. Krasil'shchik, and A. Verbovetsky, On the integrability conditions for some structures related to evolution differential equations, Acta Appl. Math. 83 (2004), 167–173, arXiv:math/0310451.

Paul Kersten, Iosif Krasil'shchik, and Alexander Verbovetsky, Nonlocal constructions in the geometry of PDE, Symmetry in nonlinear mathematical physics. Part 1, Inst. Math. NAS Ukr., Kiev, 2004, pp. 412–423.

P. H. M. Kersten, I. Krasil'shchik, and A. Verbovetsky, The Monge-Ampère equation: Hamiltonian and symplectic structures, recursions, and hierarchies, Memorandum of the Twente University 1727 (2004).

2005

I. S. Krasil'shchik, Prostoj metod dokazatel'stva lokal'nosti simmetrij evolyutsionnykh uravnenij, Scientific Bulletin of MSTUCA 91 (2005), 12–19 (Russian).

2006

Paul Kersten, Iosif Krasil'shchik, and Alexander Verbovetsky, A geometric study of the dispersionless Boussinesq type equation, Acta Appl. Math. 90 (2006), 143–178, arXiv:nlin/0511012.

P. H. M. Kersten and I. S. Krasil'shchik, The Cartan covering and complete integrability of the KdV-mKdV system, Constructive Algebra and Systems Theory (B. Hanzon and Hazewinkel M., eds.), Royal Netherlands Academy of Arts and Sciences, 2006, pp. 251–265.

2007

A. M. Verbovetsky, V. A. Golovko, and I. S. Krasil'shchik, Skobka Li dlya nelokal'nykh tenej, Scientific Bulletin of MSTUCA 114 (2007), 9–23 (Russian).

J. Krasil'shchik, Nonlocal geometry of PDEs and integrability, Symmetry and perturbation theory (G. Gaeta, R. Vitolo, and Walcher S., eds.), World Sci., 2007, pp. 100–108.

I. S. Krasil'shchik, Estestvennye nakrytiya i integriruemye sistemy, Symmetries: theoretical and methodological aspects, Astrakhan Univ., Astrakhan, 2007, pp. 46–53 (Russian).

2008

V. A. Golovko, I. S. Krasil'shchik, and A. M. Verbovetsky, Variational Poisson-Nijenhuis structures for partial differential equations, Theor. Math. Phys. 154 (2008), 227–239, Russian original: Teor. Mat. Fiz. 154 (2008), 268–282.

V. Golovko, P. Kersten, I. Krasil'shchik, and A. Verbovetsky, On integrability of the Camassa-Holm equation and its invariants, Acta Appl. Math. 101 (2008).

On the occasion of his 85th birthday and 65 years of scientific activity.

One of the great contemporary geometers, Professor, Dr. Maks Aizikovich
Akivis celebrated his 85th birthday and 65 years of scientific activity on January 5, 2008. On this occasion we want to honor the continuing scholarly productivity of Akivis whose scientific activity prior to 1993 and through 1998 was recognized in articles Maks Aizikovich Akivis published in Uspekhi Mat. Nauk 48 (1993), no. 3 (291), 213–216; in Webs and Quasigroups, 1993, pp. 4–8; and in Webs and Quasigroups, 1998/1999, pp. 7–11. In the last publication, a complete list of Akivis’ publications prior to 1999 and the list of Ph. D. theses written under his supervision were published.

Maks Aizikovich Akivis was born on January 5, 1923 in Novosibirsk, USSR.
While he was in high school, he demonstrated outstanding mathematical talent and ability. In 1940 he entered the Faculty of Mechanics and Mathematics of Moscow State University. During the Great Patriotic War (WWII) his studies were interrupted from 1942 to 1945 while he served in the Soviet Army and participated in the liberation of Prague and the capture of Berlin. For his patriotic service he was awarded many orders and medals.
After WWII he resumed his studies at Moscow State University. However,
he was not able to graduate normally: he was expelled when he was a fifth
year student for “ideological reasons”. These “ideological reasons” also kept
Akivis, one of the best students of the Faculty of Mechanics and Mathematics,
from becoming a graduate student of Moscow State University. Not until 1958 was he able to defend his Ph. D. thesis which summarized the results of his undergraduate work. In 1964 Akivis defended a second (Doctor of Science) dissertation, and one year later, in 1965 he became a full professor.
Professor I. M. Gelfand, who taught at Moscow State University in the 1940s,
recalls: “M. A. Akivis and E. B. Dynkin were my best students at Moscow
State University in the 1940s. Akivis choose Differential Geometry as his field
of research. Unfortunately, the end of his career as a student was darkened
by the conditions in the Soviet Union at that time, and he could not pursue
the normal graduate studies. However, he was able to overcome all difficulties and became one of the best scientists of his generation in the area of classical differential geometry.”
From 1956 to 1960 Akivis taught at the Tula Mechanical Institute, and from
1960 to 1994 he was a Professor in the Department of Mathematics at Moscow Institute of Steel and Alloys.

Since 1948 Akivis published more than 150 scientific books and papers. His results in multidimensional projective and conformal differential geometry, in web theory and in the theory of differential geometric structures are fundamental. Many of these results are classical and are cited in numerous papers.

The first Akivis papers were devoted to the T-pairs of complexes (three-parameter families) of straight lines in a three-dimensional projective space.

His advisor S. P. Finikov suggested that he apply the notion of harmonic intersection of ruled surfaces which had been introduced by  E. Cartan to the theory of congruences (two-parameter families) of straight lines of a three-dimensional projective space. Akivis solved this problem brilliantly: he found a new geometric property of the T-pairs of congruences introduced by Finikov and extended his results to the pairs of complexes of straight lines. As he showed, the T-pairs of complexes of straight lines he discovered are transferred by the Plücker mapping into a configuration of a five-dimensional projective space consisting of a tangentially degenerate two-dimensional submanifold and a three-dimensional submanifold carrying a net of conjugate lines. In the 1950s and 1960s Akivis devoted a series of papers to the projective theory of submanifolds of the type indicated above. As a result, he created a new area of projective differential geometry which continues to be developed successfully to this day.

M. A. Akivis (PDF)

К 65-летию со дня рождения.

Математические публикации А.М. Шелехова

Александр Михайлович Шелехов родился 30 октября 1942 года в Перми. В 1945 году семья переехала в город Орехово-Зуево Московской области. Математические способности у Александра Шелехова проявились еще в школе, которую он закончил в 1959 году с серебряной медалью.

Всерьез заниматься математикой А.М. Шелехов начал на физико-математическом факультете Орехово-Зуевского педагогического института под руководством профессора Романа Марковича Гейдельмана, ученика выдающегося российского геометра Сергея Павловича Финикова. После окончания института (1964 г.), отслужив в армии, он поступает в аспирантуру по специальности “Геометрия и топология”. После успешного окончания  аспирантуры в 1968 году он был распределен в Калининский пединститут (с 1971 года − Тверской государственный университет),  где прошел путь от ассистента до почетного профессора и заведующего кафедрой функционального анализа и геометрии.

А.М. Шелехов − член двух докторских советов, руководит аспирантами и докторантами. В 2001 году, будучи Депутатом Государственной Думы третьего созыва, он уходит с поста заведующего кафедрой, но остается на ней как совместитель. Он продолжает читать курс дифференциальной геометрии, руководит курсовыми и дипломными работами, аспирантурой. Он читал курсы высшей и линейной алгебры, аналитической и дифференциальной геометрии, тензорного исчисления, различные геометрические спецкурсы. Им написано большое количества пособий по этим курсам, две монографии.

В 1997 году, после того, как студентам гуманитарных специальностей ввели обязательный курс математики, А.М. Шелехов (в соавторстве с Н.Б. Тихомировым) разработал курс математики для юридических специальностей. Курс был несколько раз им прочитан в Тверском институте экологии и права и в Высшей школе экономики в Москве. По мотивам этих лекций был написан учебник, который дважды переиздавался.

Научная работа

Работы по линейчатой геометрии

Со времени обучения в аспирантуре А.М. Шелехов активно работает на семинарах под руководством профессоров Р.М. Гейдельмана (Московский институт инженеров транспорта), В.Т. Базылева (Московский государственный педагогический институт), А.М. Васильева (Московский государственный университет), участвует практически во всех Всесоюзных и ежегодно проводимых Поволжских геометрических конференциях.

В 1968 он защищает кандидатскую диссертацию на тему “К теории комплексов прямых многомерных неевклидовых пространств”,  в которой строит общую теорию комплексов (n-параметрических   семейств) прямых в расширенном неевклидовом пространстве произвольной сигнатуры и рассматривает важнейшие специальные классы комплексов, в частности, при n=4. Первые работы по теории комплексов прямых появились еще в середине XIX века. Используя перенесение в проективное пространство, Плюккер подробно рассмотрел линейные и квадратичные комплексы.

Геометрию комплексов изучали С. Ли, Ф. Клейн, А. Фосс, Г. Кенигс. Большой вклад в эту теорию внес С.П. Фиников, который одним из первых начал применять в линейчатой геометрии метод внешних форм и подвижного репера Э. Картана. С помощью этого метода существенное продвижение в изучении теории комплексов было получено благодаря работам М.А. Акивиса, А.М. Васильева, Н.И. Кованцова, Р.Н. Щербакова, Г. Георгиева, И. Попа, В. Главатого, Г. Станилова и многих других. Комплексы прямых в трехмерных неевклидовых пространствах начали исследовать Б.А. Розенфельд и Н.И. Кованцов, многомерную проективную теорию комплексов начал развивать А.И. Дрейманас.

Систематическое изучение комплексов в многомерных неевклидовых пространствах впервые начал А.М. Шелехов. Он обобщил ряд известных понятий из трехмерной теории комплексов, и ввел ряд новых; дал геометрическую характеристику основных геометрических объектов и построил канонический репер комплекса; охарактеризовал комплексы, расслаивающиеся на нормальные конгруенции, рассмотрел их свойства; провел метрическую и проективную классификацию комплексов прямых в четырехмерном неевклидовом пространстве по типу ассоциированной кривой второго порядка и по типу ассоциированного гиперконуса, рассмотрел важнейшие классы таких комплексов; описал все комплексы, для которых нельзя построить канонический репер общего типа (расслаивающиеся на паратактические псевдоконгруенции, расслаивающиеся на линейные конгруенции с директрисами на абсолюте, расслаивающиеся двумя способами на слабопараболические конгруенции, фокальные поверхности которых вырождаются в двумерные линейчатые поверхности на абсолюте); классифицировал комплексы, аналогичные изотропным комплексам С.П. Финикова. Среди последних (всего найдено 12 классов) комплексы, расслаивающиеся на паратактические демиквадрики, лежащие в касательных плоскостях некоторой гиперповерхности; комплексы, расслаивающиеся на конгруенции, прямые которых касаются некоторой орисферы и пересекают прямую, касающуюся этой орисферы в ее центре; комплексы, расслаивающиеся на бинормальные конгруенции трехмерного пространства, фокальные поверхности которых  есть эквидистанты с одной и той же базой, и т.д. Для всех выделенных специальных классов найден произвол существования.

Работы по теории 3-тканей

С 1970 года, познакомившись с работами профессора М.А. Акивиса (своего первого оппонента по кандидатской диссертации, в дальнейшем − друга и соавтора) по теории тканей, А.М. Шелехов увлекается этой проблематикой и начинает активно посещать семинар в Московском институте  стали и сплавов, которым тогда руководили М.А. Акивис и В.В. Гольдберг. В конце 70-х годов А.М. Шелехов организует в Тверском университете специализацию и семинар по теории тканей. Под его редакцией с 1981 года начинает выходить ежегодный сборник трудов “Ткани и квазигруппы”,  (с 1991 года − на английском языке). В специализации активное участие принимает М.А. Акивис, с которым они совместно издают ряд  учебных пособий. В рамках этой деятельности подготовлено несколько кандидатских диссертаций и докторская диссертация А.М. Шелехова “Замкнутые G-структуры, определяемые многомерными 3-тканями”, (защищена в 1991 году).

В 1992 году они совместно с М.A. Акивисом опубликовали монографию “Geometry and Algebra of multidimensional Three-webs”,  в которой были собраны все имеющиеся к тому времени результаты по теории многомерных 3-тканей и даны некоторые физические приложения этой теории. Всего, начиная с 1968 года, А.М. Шелеховым опубликовано в этой области, помимо указанной монографии и различных учебных пособий, еще два учебника и более 100 научных статей.

Инцидентностную структуру гладких k-тканей (то есть k семейств кривых или поверхностей) при k>2 начали изучать с точностью до локальных диффеоморфизмов еще в 20-х годах XX века В. Бляшке и его ученики − Томсен, Рейдемейстер, Кнессер, затем Бол. Они первые заметили, что алгебраические свойства бинарной операции, определяемой инцидентностной структурой 3-ткани (по современной терминологии − координатной квазигруппы 3-ткани), связаны с замыканием конфигураций определенного вида на многообразии ткани. Например, если всякая лупа, главноизотопная координатной квазигруппе ткани, является коммутативной лупой, то на соответствующей ткани замыкаются конфигурации, названные впоследствии конфигурациями T (Томсена), и обратно: в случае  ассоциативности замыкаются конфигурации R (Рейдемейстера); тождеству моноассоциативности (xx)x=x(xx) отвечает шестиугольная конфигурация H, и соответственно, класс тканей H. Позже появились конфигурации и ткани Бола Bl, Br и Bm, которым отвечают, соответственно, левое, правое и среднее тождества Бола; ткани Муфанг M, на которых замыкаются конфигурации Бола всех трех типов; другие, более сложные конфигурации, тождества и соответствующие классы тканей.

Многомерные 3-ткани W(r,r,r), образованные тремя слоениями размерности r на гладком многообразии размерности 2r, в середине 30-х годов начал изучать С.С. Черн, который ввел на 3-ткани каконическую аффинную связность (позднее названную М. Киккавой связностью Черна) и охарактеризовал с помощью основных тензоров этой связности указанные выше основные классы тканей T,R,H. Новый этап развития теории многомерных тканей начался с работ М.А. Акивиса в 1969 года, в которых он обобщил ряд важнейших понятий теории групп Ли для произвольной локальной аналитической лупы, построил структурную теорию многомерных 3-тканей, ввел важнейшие классы тканей, описал их геометрическое строение и нашел их тензорные характеристики. Этот новый этап был подготовлен созданием мощного аппарата дифференциально-геометрических исследований Картана-Финикова-Лаптева-Васильева. С другой стороны, начиная с 50-х годов все более усиливается интерес математиков и физиков к неассоциативным лупам и нелиевым алгебрам. Кроме того оказывается, что теория тканей связана со многими классическими областями математики: классической дифференциальной геометрией, проективной и алгебраической геометрией, римановой геометрией и ее обобщениями, теорией расслоенных пространств, теорией функций и вариационным исчислением, аксиоматическим обоснованием проективной геометрии, с теорией дифференциальных уравнений и т.д. В результате, начиная с 70-х годов, появляется большой цикл работ, в первую очередь −  М.A. Акивиса, В.В. Гольдберга и их учеников, посвященных различным вопросам теории тканей.

В одной из своих работ 1975 года М.A. Акивис ввел понятие замкнутой структуры на дифференцируемом многообразии. Замкнутость порядка k означает, что все структурные тензоры, связанные с дифференциально-геометрической окрестностью порядка выше k, выражаются через тензоры,  связанные с дифференциально-геометрической окрестностью порядка k, причем k есть наименьшее из чисел, обладающих таким свойством. Довольно просто устанавливалось, что известные классы 3-тканей T, R, M и Бола обладают замкнутой G-структурой. Координатные лупы перечисленных этих классов тканей являются, соответственно, абелевыми группами, группами, лупами Муфанг и лупами Бола, то есть характеризуются, если можно так выразиться, различной степенью коммутативности и ассоциативности. Например, в координатных лупах тканей Bl  и только в них выполняется тождество левой альтернативности x(xy)=(xx)y. Поэтому естественно возник вопрос (проблема поставлена М.A. Акивисом в 1975 году), является ли замкнутой G-структура 3-тканей H, в координатных лупах которых выполняется тождество моноассоциативности x(xx)=(xx)x − наиболее более слабый вариант ассоциативности? При r=2 проблема была положительно решена В. Боцу в 1984 году. Однако его метод рассуждений, существенно использующий четырехмерность, невозможно было применить в общем случае. Таким образом, возникла проблема изучения классов многомерных 3-тканей с замкнутой структурой, которой и была посвящена докторская диссертация А.М. Шелехова. Проблема оказалась очень сложной и в идейном и в вычислительном аспектах. Главный результат, полученный Шелеховым в этом направлении, есть доказательство того, что G-структура, определяемая шестиугольной 2r-мерной три-тканью W, является замкнутой G-структурой четвертого порядка. Для доказательства этого факта пришлось детально описать строение дифференциально-геометрического объекта произвольного порядка многомерной 3-ткани (до третьего порядка включительно это было сделано М.A. Акивисом).

Дальнейшее обобщение основной теоремы связано с понятием тождества с одной переменной порядка k. Пусть Q −  локальная аналитическая лупа с операцией (“), S1(x) и S2(x) − некоторые слова длины n от одной переменной x в лупе Q. Разложив произведение x”y  в лупе Q в ряд, мы можем вычислить разность  S1(x) – S2(x). Порядок первого слагаемого в этом разложении зависит от расстановки скобок в словах S1(x) и S2(x). Если разложение начинается с членов порядка k+1, то будем говорить, что тождество S1(x) = S2(x) имеет порядок k. Поскольку каждое слово от одной переменной − это граф (дерево), то вид разложения определяется структурой двух деревьев, то есть двумя конечными наборами натуральных чисел. Это обстоятельство дало возможность провести А.М. Шелехову в двух совместных работах с В.А. Биллигом (естественно, с помощью компьютера) классификацию тождеств порядка 4 до длины 12.

Оказалось, что таких тождеств существует всего 6 длины 10, 58 длины 11 и 298 длины 12. Далее было доказано, что если в координатных лупах аналитической 3-ткани выполняются k-2 в определенном смысле независимых тождеств порядка k-1, то G-структура такой ткани будет замкнутой структурой порядка 2k-2. Оказалось, что среди тождеств порядка 4 длины 10 всего одно независимое, среди тождеств длины 11 можно найти 7 таких, что любые 3 независимые из них приводят к замкнутым структуры восьмого порядка.

В вышеупомянутой работе М.A. Акивиса о замкнутых G-структурах было замечено, что каждому классу тканей с замкнутой G-структурой порядка k соответствуют координатные лупы, допускающие каноническое разложение, аналогичное ряду Кэмпбела–Хаусдорфа: коэффициенты членов порядка выше k такого разложения являются комитантами коэффициентов меньшего порядка. Строгое доказательство этого факта дано в докторской диссертации А.М. Шелехова. Оно является следствием более общей доказанной им теоремы, по которой коэффициенты канонического разложения координатной лупы 3-ткани выражаются через основные тензоры этой ткани, входящие в ее структурные уравнения, и обратно: указанные тензоры могут быть выражены через коэффициенты канонического разложения.

Заметим, что понятие канонических координат в локальной аналитической лупе, обобщающее аналогичное понятие из теории групп Ли, было введено М.А. Акивисом в 1969 г. Существование таких координат было доказано позже в работе Дюфура и другим способом − в совместной работе М.A. Акивиса и А.M. Шелехова.

Из многочисленных результатов, полученных А.M. Шелеховым в его докторской диссертации, отметим еще один, касающийся введенных им G-тканей. Так названы ткани, допускающие транзитивную группу автоморфизмов. Показано, что только такие ткани допускают семейство адаптированных реперов, в которых все тензоры ткани становятся постоянными. (Отметим, что этот факт и способ его доказательства можно распространить и на другие дифференциально-геометрические структуры). Как оказалось, G-тканями являются многочисленные ткани, приведенные в качестве примеров в разных работах, в частности, все групповые ткани и ткани Муфанг, а также, например, найденные в диссертации А.M. Шелехова две единственные шестимерные 3-ткани с эластичными координатными лупами (так называются лупы, в которых выполняется тождество эластичности x(yx)=(xy)x).

Решение “конформных”, проблем Вильгельма Бляшке

В книге В. Бляшке “Введение в геометрию тканей”  (М., Физматгиз, 1959) сформулированы, в частности, две “конформные” задачи: перечислить все регулярные (параллелизуемые) 3-ткани, образованные пучками окружностей (круговая ткани), и привести примеры 4-тканей, образованных пучками сфер (сферическая ткань). Напомним, что ткань называется параллелизуемой или регулярной, если она эквивалентна ткани, образованной семействами параллельных плоскостей.

Решением первой задачи занималось несколько авторов (Балабанова, Эрдоган, Лазарева)  но, несмотря на кажущуюся простоту формулировки, она долго не поддавалась решению. Дело в том, что все авторы использовали путь, предложенный Бляшке − вычисляли кривизну ткани и приравнивали ее нулю. Этот путь приводил к громоздким вычислениям, которые в общем случае отчетливо никому довести до конца не удалось. За все время исследования было найдено всего 7 классов регулярных круговых тканей. А.M. Шелехов предложил другой путь, основанный на внешне весьма простом факте: он показал, что гладкая часть граничной кривой любой регулярной криволинейной 3-ткани принадлежит этой ткани. С помощью этого утверждения им было доказано, что кроме известных семи классов регулярных круговых 3-тканей других классов не существует. В совместной работе с В.Б. Лазаревой  теорема о границах регулярных криволинейных 3-тканей обобщена для регулярных (n+1)-тканей, образованных n+1 слоениями на многообразии размерности n. Этот результат дает возможность эффективно решить задачу классификации регулярных сферических 4-тканей.

Политическая деятельность

С 1995 по 1999 год А.М. Шелехов − депутат Тверской городской Думы, с 1999 по 2003 год − депутат Государственной Думы Российской Федерации от общественного объединения “Единство”, член Комитета Государственной Думы по образованию и науке, заместитель председателя Комиссии Государственной Думы по проблемам устойчивого развития.

Он является соавтором нескольких важных законопроектов, в том числе “О государственном стандарте образования”,  “О порядке проведения компенсационных выплат гражданам Российской Федерации”,  “О русском языке как государственном языке РФ”,  “О государственном регулировании генно-инженерной деятельности”  и других.

Большую работу А.М. Шелехов проводил в Комиссии по проблемам устойчивого развития. Активно участвовал в организации и проведении нескольких парламентских слушаний, в разработке стратегии устойчивого развития Российской Федерации и региональных стратегий устойчивого развития Краснодарского и Красноярского краев;  налаживал совместную работу по проблемам устойчивого развития с Комитетом Верховной Рады Украины по экологической политике, с депутатами Комиссии Будущего финского парламента, с научной общественностью Литвы; был одним из разработчиков доклада “Национальная оценка прогресса РФ при переходе к устойчивому развитию”,  представленного Правительством РФ на Всемирном Саммите ООН по устойчивому развитию в 2002 году в Йоханнесбурге, где был в составе  официальной делегации от России. Во многом благодаря энергичной и плодотворной деятельности А.М. Шелехова удалось осуществить конструктивное взаимодействие Комиссии с Правительством РФ при обсуждении  проблем устойчивого развития России.

Будучи депутатом Государственной Думы, А.М. Шелехов прилагал много усилий для налаживание нормальных отношений со странами СНГ, считая эту деятельность наиболее важным аспектом внешней политики России. С этой целью он несколько раз бывал в Грузии и Армении. В 2001 году украинские журналисты вручили ему диплом “Лидер народного доверия”.

А.М. Шелехов ведет активную публицистическую деятельность, только в журнале “Российская Федерация сегодня”  им опубликованы 5 статей. Он − один из авторов монографии “Научная основа стратегии устойчивого развития Российской Федерации”  (Москва, 2002), которая стала победителем конкурса “Национальная экологическая премия”  за 2004 год. Он является автором многочисленных публикаций по проблемам образования и устойчивого развития, а опубликованный им сборник статей “Между прошлым и будущим”  (2002 г.) рекомендован  в качестве учебного пособия для вузов по данной тематике. Его статья  “О роли России в решении глобальных проблем человечества”  вошла в книгу “Россия на пути к устойчивому развитию”   (Москва, 2003), подготовленную крупнейшими специалистами в области экологии и устойчивого развития.

А.М. Шелехов постоянно ведет активную общественную, научную и педагогическую работу. Будучи депутатом Государственной Думы, он неоднократно выступал с докладами на Берлинских встречах парламентариев и общественности  стран мира, посвященных выработке совместных действий в борьбе с терроризмом. Он один из авторов статьи “Современный терроризм в свете экологической безопасности”,  которая вошла в сборник избранных работ Российской Академии наук за 2005 год.

Большую общественную работу А.М. Шелехов ведет как заместитель председателя Высшего экологического совета при Комитете Государственной Думы по  экологии. Кроме того, за период с 2000 года им решено несколько рупных математических проблем, результаты опубликованы в центральных журналах соответствующего профиля.  Отметим также его статью “Математическая модель ипотечного кооператива”,  в ней строго обоснованы условия, при которых накопительный кооператив не  является “пирамидой”.

А.М. Шелехов −  член центральной контрольно-ревизионной комиссии партии “Единая Россия”,  президент межрегиональной общественной организации “Интеллигенция Новой России”.

В 2002 годы вышел из печати поэтический сборник  А.М. Шелехова “Неизбранные стихотворения”.

Мы, коллеги и друзья Александра Михайловича, желаем ему здоровья, счастья и радости новых открытий.

А.Т. Фоменко, В.В. Гольдберг, В.Ф. Кириченко, В.В. Лычагин.

On the occasion of his 60th birthday.

V. F. Kirichenko was born on May 11, 1947 in Magadan region of Russia.

In 1972 he graduated summa cum laude (with highest honors) from the Faculty of Mechanics and Mathematics of the Moscow State University (MSU).

In 1975 he finished his graduate studies in the Department of Differential Geometry of MSU. In 1976 he defended his Ph. D. thesis entitled New Results in the Theory of K-Spaces, in which he obtained a series of deep results on the geometry of one of the most interesting classes of Hermitian manifolds.

After graduation he became an Assistant Professor of the Department of Special Mathematical Courses of Moscow Power Institute. In 1980 he was promoted to Associate Professor, and in 1987 to Professor of the same department. Since 1990 Kirichenko is Professor of the Geometry Department of the Moscow State Pedagogical University. In 1999 he became the chairperson of this department.

The circle of scientific interests of Kirichenko is in differential geometry and its applications. In 1985 he defended the doctoral dissertation entitled Differential Geometry of Generalized Hermitian Manifolds. In this work he demonstrated a possibility to study from the same point of view different differential-geometric structures such as almost Hermitian structures, almost contact structures, almost quaternion structures, f-structures of Kentaro Yano, and their hyperbolic analogues.

He developed a new apparatus for investigation of almost Hermitian structures and applying it obtained many results published in prestigious Russian and foreign mathematical journals as well as in his monograph Differential-Geometric Structures on a Manifold (Moscow, 2003). These results were reported in the series of international conferences including the 4th International Congress of Mathematicians (Zurich, 1994) and the 2nd European Mathematical Congress (Budapest, 1996).

Kirichenko was a supervisor of many Ph. D. students. Up to now, 26 his students defended their Ph. D. theses.

We, friends and colleagues of Vadim Kirichenko wish him good health, happiness and success in his research.

V. Goldberg, A. Kushner, V. Kuzakon