Lychagin was elected

lychaginOn 11 December, 2008 Valentin V. Lychagin was unanimously elected as “socio corrispondente” (member by correspondent, член-корреспондент) of the Accademia Peloritana dei Pericolanti (Messina, Italy). Congratulations, Valentin!

Valentin T. Fomenko

On the occasion of his 70th birthday.
vtfomenko


15 июля 2008 года исполняется семьдесят лет доктору физико-математических наук, профессору по кафедре геометрии, Заслуженному деятелю науки Российской Федерации, академику РАЕН Валентину Трофимовичу Фоменко.

В.Т. Фоменко родился в хуторе Потапов Цимлянского района Ростовской области. В 1955 г. он поступает на физико-математический факультет Ростовского государственного университета, который оканчивает в 1960 г. С 1962 по 1974 гг. Фоменко работает в РГУ профессором, заведующим кафедрой математического анализа. В 1982—1988 гг. он занимает должность проректора по научной и учебной работе Волгоградского государственного университета, а с 1988 по 2001 гг. — проректора по научной работе Таганрогского государственного педагогического института. В периоды с 1975 по 1982 гг. и с 2001г. по настоящее время он — профессор, заведующий кафедрой алгебры и геометрии ТГПИ.

Фоменко — автор более двухсот научных работ, пяти учебных пособий и монографии. Он подготовил более 20 кандидатов наук, трое из которых защитили докторские диссертации. В соответствии с Указом Президента Российской Федерации от 16.09.1993 г. Президиум РАН присудил В.Т. Фоменко Государственную научную стипендию как выдающемуся ученому России. В 2007 г. на конкурсе “Золотой фонд отечественной науки и образования” возглавляемая им кафедра алгебры и геометрии удостоена диплома “Золотая кафедра”, а в 2008 г. ему самому присвоено почетное звание “Основатель научной школы”. Научная деятельность этой школы неоднократно поддерживалась грантами РФФИ, МО РФ, губернатора Ростовской области, ТГПИ, а также благотворительными обществами г. Таганрога. В настоящее время В.Т. Фоменко является научным руководителем фундаментального исследования по заданию Федерального агентства по образованию МО и НРФ (2006—2010 гг.).

Научная деятельность его школы представлена тремя направлениями в области дифференциальной геометрии “в целом”.

Первое направление — изгибание поверхностей в трехмерных евклидовых и римановых пространствах. Установлены условия существования непрерывных изгибаний поверхностей в предположении, что край поверхности скользит в процессе изгибания по заданной опоре (В.Т. Фоменко, Н.С. Казарян). Доказано, что множество всех решений уравнений Гаусса-Петерсона-Кодацци для односвязной поверхности положительной гауссовой кривизны в евклидовом пространстве есть связное аналитическое вложенное подмногообразие подходящего Банахова пространства, моделируемое в некотором банаховом пространстве аналитических функций (С.Б. Климентов). Указаны явные, удобные для приложений, формулы, связывающие решения этих уравнений и аналитические функции (В.Т. Фоменко). Установлены условия, при выполнении которых решение линеаризованной задачи теории изгибаний поверхностей может гарантировать решение нелинейной задачи изгибания поверхностей (Е.М. Колегаева, Н.С. Казарян). Указаны условия, обеспечивающие жесткость замкнутых склеенных поверхностей (Л.П. Фоменко).

Второе направление — деформации многомерных поверхностей в пространствах постоянной кривизны. Основным результатом, полученным в этом направлении, является выделение класса многомерных поверхностей, бесконечно малые изгибания которых описываются аналитическими функциями многих комплексных переменных (В.Т. Фоменко, А.Н. Зубков). Значительным результатом является доказательство изгибаемости многомерных склеенных поверхностей, представленных в виде декартова произведения поверхностей меньшей размерности (П.Е. Марков). Помимо изгибаний целесообразно рассматривать деформации поверхностей, при которых некоторые геометрические характеристики поверхности имеют наперед заданные значения вариаций. Эти условия накладывают ограничения на выбор поля деформации поверхности, описываемые, как правило, в виде дифференциальных уравнений. К настоящему времени достаточно полно изучены ареальные деформации поверхностей с сохранением гауссова образа поверхности (А.В. Забеглов, О.Н. Бабенко), а также деформации двумерных поверхностей в четырехмерном пространстве с сохранением грассманова образа поверхности (В.Т. Фоменко, И.А. Бикчантаев). Получены условия существования деформаций поверхностей с сохранением гауссова образа в римановом пространстве, при которых вариация элемента площади поверхности определяется кривизной поверхности, величиной нормального смещения и элементом площади поверхности с некоторым коэффициентом рекуррентности деформации (О.Н. Бабенко, В.В. Сидорякина, В.Т. Фоменко). Установлен закон распределения коэффициентов рекуррентности, порождающих деформации, совместимые с заданными внешними связями (В. Т. Фоменко, В.В. Сидорякина, А.И. Бодренко).

Третье направление исследований — внешняя геометрия погруженных многообразий. Для описания внешне-геометрического поведения поверхности вводятся новые геометрические характеристики поверхности, являющиеся инвариантами касательного или нормального расслоений поверхности: нормальная кривизна, нормальное кручение, относительное кручение, гауссово кручение поверхности в точке по заданному направлению (В.Т. Фоменко, И.И. Бодренко). Обращение в ноль одной из этих характеристик выделяет в пространстве класс поверхностей. Описание таких классов поверхностей представляет значительный интерес, так как они обобщают известные ранее классы поверхностей. Решению указанных задач посвящено большое количество работ у нас в стране и за рубежом. В 2004 году было дано полное описание поверхностей с нулевым нормальным кручением (В.Т. Фоменко).

Ректорат и кафедра алгебры и геометрии Таганрогского государственного педагогического института и Международный геометрический центр dω (Одесса) поздравляют Валентина Трофимовича с юбилеем и желают ему здоровья, счастья и радости новых открытий.

Н. В. Перчун

Boris Abramovich Rosenfeld (1917—2008)

photoRosenfeld

Geometric Center dω with the deep sorrow notifies that on April 5, 2008 the great geometer and historian of mathematics Boris Abramovich Rosenfeld passed away. He was 90 years old.

OBITUARY

Boris Rosenfeld, 90, of State College passed away on April 5, 2008 at his home. He was born on August 30, 1917 in St. Petersburg, Russia. He was the son of the late Abraham and Maria Rosenfeld. On April 7, 1946 he married Lucy Davidov in Moscow who survived him.

Boris Rosenfeld was a distinguished research mathematician and teacher and a world authority in the history of science, especially that of ancient Greece and medieval Middle East. He was as a full member of the International Academy of the History of Science.

He received his master’s degree, Ph.D., and the highest Doctor of Science degree from the Moscow State University. During the Second World War, he was on noncombat duties with the Soviet Army, which was fighting Nazi Germany in the alliance with Western democracies. From 1950 until his immigration to the United State in 1990 he held a succession of professorial and senior research appointments, including Azerbaijan State University in Baku, Pedagogical institutes at Zagorsk and Kolomna, and the Institute of History of Science and Technology of the USSR Academy of Science. At the age of 73 he was appointed as an adjunct professor at the Department of Mathematics at Penn State, which later became a joint appointment with departments of History and Philosophy. He retired from active teaching duties in 1995 at the age of 78. He continued active research work until shortly before his death, continuing to publish books and articles in international professional journals. One of his fundamental achievements was a comprehensive bibliography and commentary on all existing medieval Islamic manuscripts in mathematics, astronomy, and related areas published in Istanbul, Turkey in 2003. He completed the last and one of the most important endeavors of his life, a translation and scientific commentary of the classical treatise of Apollonius in 2007, being completely blind by then.

From 1940 until his death Boris Rosenfeld published over 400 scientific papers in professional journals and many monographs, several of which were highly influential and became standard sources in corresponding fields of mathematics and history of science. He has a large group of students and followers from his years of teaching and research in the Soviet Union. He supervised 82 Ph.D. dissertation, an unusually high number for his field. His last Ph.D. student Diana Rhodes received her Ph.D. from Penn State in 2005.

Apart from his wife, Boris Rosenfeld is survived by two daughters: Dr. Svetlana Katok of State College and Julia Rozenman of Great Falls, VA, their husbands, Dr. Anatole Katok and Dr. Michael Rozenman; five grandchildren: Dr. Elena Katok Bolton and her husband Dr. Gary Bolton, Boris Katok and his wife Sherrie Hashemi, Alexandra Rozenman and her husband Dr. Alexander Voronov, Dr. Mary Rozenman, and Danya Katok and her fiancee Nicholas Ahlbin; and two great-grandchildren, Uriel Bolton 6, and Zoa Katok 6.

A memorial service will be held on Wednesday, April 9 at 1pm in Koch Funeral Home, 2401 S. Atherton Str., State College. The burial at the Spring Creek Presbyterian Cemetery will follow.

In his long fight with eye diseases and approaching blindness Boris Rosenfeld has benefited from superior skills of several outstanding eye surgeons and from two cornea transplants. In recognition of that, memorial contributions may be made to the Gift of Life Family House

См. также статью ученика Бориса Абрамовича М. П. Замаховского, написанную по случаю 90-летия Розенфельда и опубликованную в журнале Математическое Просвещение, Серия 3, 2007, выпуск 11, стр. 15—20.

Maks A. Akivis

On the occasion of his 85th birthday and 65 years of scientific activity.

M.A. Akivis
M.A. Akivis

One of the great contemporary geometers, Professor, Dr. Maks Aizikovich
Akivis celebrated his 85th birthday and 65 years of scientific activity on January 5, 2008. On this occasion we want to honor the continuing scholarly productivity of Akivis whose scientific activity prior to 1993 and through 1998 was recognized in articles Maks Aizikovich Akivis published in Uspekhi Mat. Nauk 48 (1993), no. 3 (291), 213–216; in Webs and Quasigroups, 1993, pp. 4–8; and in Webs and Quasigroups, 1998/1999, pp. 7–11. In the last publication, a complete list of Akivis’ publications prior to 1999 and the list of Ph. D. theses written under his supervision were published.

Maks Aizikovich Akivis was born on January 5, 1923 in Novosibirsk, USSR.
While he was in high school, he demonstrated outstanding mathematical talent and ability. In 1940 he entered the Faculty of Mechanics and Mathematics of Moscow State University. During the Great Patriotic War (WWII) his studies were interrupted from 1942 to 1945 while he served in the Soviet Army and participated in the liberation of Prague and the capture of Berlin. For his patriotic service he was awarded many orders and medals.
After WWII he resumed his studies at Moscow State University. However,
he was not able to graduate normally: he was expelled when he was a fifth
year student for “ideological reasons”. These “ideological reasons” also kept
Akivis, one of the best students of the Faculty of Mechanics and Mathematics,
from becoming a graduate student of Moscow State University. Not until 1958 was he able to defend his Ph. D. thesis which summarized the results of his undergraduate work. In 1964 Akivis defended a second (Doctor of Science) dissertation, and one year later, in 1965 he became a full professor.
Professor I. M. Gelfand, who taught at Moscow State University in the 1940s,
recalls: “M. A. Akivis and E. B. Dynkin were my best students at Moscow
State University in the 1940s. Akivis choose Differential Geometry as his field
of research. Unfortunately, the end of his career as a student was darkened
by the conditions in the Soviet Union at that time, and he could not pursue
the normal graduate studies. However, he was able to overcome all difficulties and became one of the best scientists of his generation in the area of classical differential geometry.”
From 1956 to 1960 Akivis taught at the Tula Mechanical Institute, and from
1960 to 1994 he was a Professor in the Department of Mathematics at Moscow Institute of Steel and Alloys.

Since 1948 Akivis published more than 150 scientific books and papers. His results in multidimensional projective and conformal differential geometry, in web theory and in the theory of differential geometric structures are fundamental. Many of these results are classical and are cited in numerous papers.

The first Akivis papers were devoted to the T-pairs of complexes (three-parameter families) of straight lines in a three-dimensional projective space.

His advisor S. P. Finikov suggested that he apply the notion of harmonic intersection of ruled surfaces which had been introduced by  E. Cartan to the theory of congruences (two-parameter families) of straight lines of a three-dimensional projective space. Akivis solved this problem brilliantly: he found a new geometric property of the T-pairs of congruences introduced by Finikov and extended his results to the pairs of complexes of straight lines. As he showed, the T-pairs of complexes of straight lines he discovered are transferred by the Plücker mapping into a configuration of a five-dimensional projective space consisting of a tangentially degenerate two-dimensional submanifold and a three-dimensional submanifold carrying a net of conjugate lines. In the 1950s and 1960s Akivis devoted a series of papers to the projective theory of submanifolds of the type indicated above. As a result, he created a new area of projective differential geometry which continues to be developed successfully to this day.

M. A. Akivis (PDF)

А.М. Шелехов

К 65-летию со дня рождения.

Математические публикации А.М. Шелехова

А.М. Шелехов
А.М. Шелехов

Александр Михайлович Шелехов родился 30 октября 1942 года в Перми. В 1945 году семья переехала в город Орехово-Зуево Московской области. Математические способности у Александра Шелехова проявились еще в школе, которую он закончил в 1959 году с серебряной медалью.

Всерьез заниматься математикой А.М. Шелехов начал на физико-математическом факультете Орехово-Зуевского педагогического института под руководством профессора Романа Марковича Гейдельмана, ученика выдающегося российского геометра Сергея Павловича Финикова. После окончания института (1964 г.), отслужив в армии, он поступает в аспирантуру по специальности “Геометрия и топология”. После успешного окончания  аспирантуры в 1968 году он был распределен в Калининский пединститут (с 1971 года − Тверской государственный университет),  где прошел путь от ассистента до почетного профессора и заведующего кафедрой функционального анализа и геометрии.

А.М. Шелехов − член двух докторских советов, руководит аспирантами и докторантами. В 2001 году, будучи Депутатом Государственной Думы третьего созыва, он уходит с поста заведующего кафедрой, но остается на ней как совместитель. Он продолжает читать курс дифференциальной геометрии, руководит курсовыми и дипломными работами, аспирантурой. Он читал курсы высшей и линейной алгебры, аналитической и дифференциальной геометрии, тензорного исчисления, различные геометрические спецкурсы. Им написано большое количества пособий по этим курсам, две монографии.

В 1997 году, после того, как студентам гуманитарных специальностей ввели обязательный курс математики, А.М. Шелехов (в соавторстве с Н.Б. Тихомировым) разработал курс математики для юридических специальностей. Курс был несколько раз им прочитан в Тверском институте экологии и права и в Высшей школе экономики в Москве. По мотивам этих лекций был написан учебник, который дважды переиздавался.

Научная работа

Работы по линейчатой геометрии

Со времени обучения в аспирантуре А.М. Шелехов активно работает на семинарах под руководством профессоров Р.М. Гейдельмана (Московский институт инженеров транспорта), В.Т. Базылева (Московский государственный педагогический институт), А.М. Васильева (Московский государственный университет), участвует практически во всех Всесоюзных и ежегодно проводимых Поволжских геометрических конференциях.

В 1968 он защищает кандидатскую диссертацию на тему “К теории комплексов прямых многомерных неевклидовых пространств”,  в которой строит общую теорию комплексов (n-параметрических   семейств) прямых в расширенном неевклидовом пространстве произвольной сигнатуры и рассматривает важнейшие специальные классы комплексов, в частности, при n=4. Первые работы по теории комплексов прямых появились еще в середине XIX века. Используя перенесение в проективное пространство, Плюккер подробно рассмотрел линейные и квадратичные комплексы.

Геометрию комплексов изучали С. Ли, Ф. Клейн, А. Фосс, Г. Кенигс. Большой вклад в эту теорию внес С.П. Фиников, который одним из первых начал применять в линейчатой геометрии метод внешних форм и подвижного репера Э. Картана. С помощью этого метода существенное продвижение в изучении теории комплексов было получено благодаря работам М.А. Акивиса, А.М. Васильева, Н.И. Кованцова, Р.Н. Щербакова, Г. Георгиева, И. Попа, В. Главатого, Г. Станилова и многих других. Комплексы прямых в трехмерных неевклидовых пространствах начали исследовать Б.А. Розенфельд и Н.И. Кованцов, многомерную проективную теорию комплексов начал развивать А.И. Дрейманас.

Систематическое изучение комплексов в многомерных неевклидовых пространствах впервые начал А.М. Шелехов. Он обобщил ряд известных понятий из трехмерной теории комплексов, и ввел ряд новых; дал геометрическую характеристику основных геометрических объектов и построил канонический репер комплекса; охарактеризовал комплексы, расслаивающиеся на нормальные конгруенции, рассмотрел их свойства; провел метрическую и проективную классификацию комплексов прямых в четырехмерном неевклидовом пространстве по типу ассоциированной кривой второго порядка и по типу ассоциированного гиперконуса, рассмотрел важнейшие классы таких комплексов; описал все комплексы, для которых нельзя построить канонический репер общего типа (расслаивающиеся на паратактические псевдоконгруенции, расслаивающиеся на линейные конгруенции с директрисами на абсолюте, расслаивающиеся двумя способами на слабопараболические конгруенции, фокальные поверхности которых вырождаются в двумерные линейчатые поверхности на абсолюте); классифицировал комплексы, аналогичные изотропным комплексам С.П. Финикова. Среди последних (всего найдено 12 классов) комплексы, расслаивающиеся на паратактические демиквадрики, лежащие в касательных плоскостях некоторой гиперповерхности; комплексы, расслаивающиеся на конгруенции, прямые которых касаются некоторой орисферы и пересекают прямую, касающуюся этой орисферы в ее центре; комплексы, расслаивающиеся на бинормальные конгруенции трехмерного пространства, фокальные поверхности которых  есть эквидистанты с одной и той же базой, и т.д. Для всех выделенных специальных классов найден произвол существования.

Работы по теории 3-тканей

С 1970 года, познакомившись с работами профессора М.А. Акивиса (своего первого оппонента по кандидатской диссертации, в дальнейшем − друга и соавтора) по теории тканей, А.М. Шелехов увлекается этой проблематикой и начинает активно посещать семинар в Московском институте  стали и сплавов, которым тогда руководили М.А. Акивис и В.В. Гольдберг. В конце 70-х годов А.М. Шелехов организует в Тверском университете специализацию и семинар по теории тканей. Под его редакцией с 1981 года начинает выходить ежегодный сборник трудов “Ткани и квазигруппы”,  (с 1991 года − на английском языке). В специализации активное участие принимает М.А. Акивис, с которым они совместно издают ряд  учебных пособий. В рамках этой деятельности подготовлено несколько кандидатских диссертаций и докторская диссертация А.М. Шелехова “Замкнутые G-структуры, определяемые многомерными 3-тканями”, (защищена в 1991 году).

В 1992 году они совместно с М.A. Акивисом опубликовали монографию “Geometry and Algebra of multidimensional Three-webs”,  в которой были собраны все имеющиеся к тому времени результаты по теории многомерных 3-тканей и даны некоторые физические приложения этой теории. Всего, начиная с 1968 года, А.М. Шелеховым опубликовано в этой области, помимо указанной монографии и различных учебных пособий, еще два учебника и более 100 научных статей.

Инцидентностную структуру гладких k-тканей (то есть k семейств кривых или поверхностей) при k>2 начали изучать с точностью до локальных диффеоморфизмов еще в 20-х годах XX века В. Бляшке и его ученики − Томсен, Рейдемейстер, Кнессер, затем Бол. Они первые заметили, что алгебраические свойства бинарной операции, определяемой инцидентностной структурой 3-ткани (по современной терминологии − координатной квазигруппы 3-ткани), связаны с замыканием конфигураций определенного вида на многообразии ткани. Например, если всякая лупа, главноизотопная координатной квазигруппе ткани, является коммутативной лупой, то на соответствующей ткани замыкаются конфигурации, названные впоследствии конфигурациями T (Томсена), и обратно: в случае  ассоциативности замыкаются конфигурации R (Рейдемейстера); тождеству моноассоциативности (xx)x=x(xx) отвечает шестиугольная конфигурация H, и соответственно, класс тканей H. Позже появились конфигурации и ткани Бола Bl, Br и Bm, которым отвечают, соответственно, левое, правое и среднее тождества Бола; ткани Муфанг M, на которых замыкаются конфигурации Бола всех трех типов; другие, более сложные конфигурации, тождества и соответствующие классы тканей.

Многомерные 3-ткани W(r,r,r), образованные тремя слоениями размерности r на гладком многообразии размерности 2r, в середине 30-х годов начал изучать С.С. Черн, который ввел на 3-ткани каконическую аффинную связность (позднее названную М. Киккавой связностью Черна) и охарактеризовал с помощью основных тензоров этой связности указанные выше основные классы тканей T,R,H. Новый этап развития теории многомерных тканей начался с работ М.А. Акивиса в 1969 года, в которых он обобщил ряд важнейших понятий теории групп Ли для произвольной локальной аналитической лупы, построил структурную теорию многомерных 3-тканей, ввел важнейшие классы тканей, описал их геометрическое строение и нашел их тензорные характеристики. Этот новый этап был подготовлен созданием мощного аппарата дифференциально-геометрических исследований Картана-Финикова-Лаптева-Васильева. С другой стороны, начиная с 50-х годов все более усиливается интерес математиков и физиков к неассоциативным лупам и нелиевым алгебрам. Кроме того оказывается, что теория тканей связана со многими классическими областями математики: классической дифференциальной геометрией, проективной и алгебраической геометрией, римановой геометрией и ее обобщениями, теорией расслоенных пространств, теорией функций и вариационным исчислением, аксиоматическим обоснованием проективной геометрии, с теорией дифференциальных уравнений и т.д. В результате, начиная с 70-х годов, появляется большой цикл работ, в первую очередь −  М.A. Акивиса, В.В. Гольдберга и их учеников, посвященных различным вопросам теории тканей.

В одной из своих работ 1975 года М.A. Акивис ввел понятие замкнутой структуры на дифференцируемом многообразии. Замкнутость порядка k означает, что все структурные тензоры, связанные с дифференциально-геометрической окрестностью порядка выше k, выражаются через тензоры,  связанные с дифференциально-геометрической окрестностью порядка k, причем k есть наименьшее из чисел, обладающих таким свойством. Довольно просто устанавливалось, что известные классы 3-тканей T, R, M и Бола обладают замкнутой G-структурой. Координатные лупы перечисленных этих классов тканей являются, соответственно, абелевыми группами, группами, лупами Муфанг и лупами Бола, то есть характеризуются, если можно так выразиться, различной степенью коммутативности и ассоциативности. Например, в координатных лупах тканей Bl  и только в них выполняется тождество левой альтернативности x(xy)=(xx)y. Поэтому естественно возник вопрос (проблема поставлена М.A. Акивисом в 1975 году), является ли замкнутой G-структура 3-тканей H, в координатных лупах которых выполняется тождество моноассоциативности x(xx)=(xx)x − наиболее более слабый вариант ассоциативности? При r=2 проблема была положительно решена В. Боцу в 1984 году. Однако его метод рассуждений, существенно использующий четырехмерность, невозможно было применить в общем случае. Таким образом, возникла проблема изучения классов многомерных 3-тканей с замкнутой структурой, которой и была посвящена докторская диссертация А.М. Шелехова. Проблема оказалась очень сложной и в идейном и в вычислительном аспектах. Главный результат, полученный Шелеховым в этом направлении, есть доказательство того, что G-структура, определяемая шестиугольной 2r-мерной три-тканью W, является замкнутой G-структурой четвертого порядка. Для доказательства этого факта пришлось детально описать строение дифференциально-геометрического объекта произвольного порядка многомерной 3-ткани (до третьего порядка включительно это было сделано М.A. Акивисом).

Дальнейшее обобщение основной теоремы связано с понятием тождества с одной переменной порядка k. Пусть Q −  локальная аналитическая лупа с операцией (“), S1(x) и S2(x) − некоторые слова длины n от одной переменной x в лупе Q. Разложив произведение x”y  в лупе Q в ряд, мы можем вычислить разность  S1(x) – S2(x). Порядок первого слагаемого в этом разложении зависит от расстановки скобок в словах S1(x) и S2(x). Если разложение начинается с членов порядка k+1, то будем говорить, что тождество S1(x) = S2(x) имеет порядок k. Поскольку каждое слово от одной переменной − это граф (дерево), то вид разложения определяется структурой двух деревьев, то есть двумя конечными наборами натуральных чисел. Это обстоятельство дало возможность провести А.М. Шелехову в двух совместных работах с В.А. Биллигом (естественно, с помощью компьютера) классификацию тождеств порядка 4 до длины 12.

Оказалось, что таких тождеств существует всего 6 длины 10, 58 длины 11 и 298 длины 12. Далее было доказано, что если в координатных лупах аналитической 3-ткани выполняются k-2 в определенном смысле независимых тождеств порядка k-1, то G-структура такой ткани будет замкнутой структурой порядка 2k-2. Оказалось, что среди тождеств порядка 4 длины 10 всего одно независимое, среди тождеств длины 11 можно найти 7 таких, что любые 3 независимые из них приводят к замкнутым структуры восьмого порядка.

В вышеупомянутой работе М.A. Акивиса о замкнутых G-структурах было замечено, что каждому классу тканей с замкнутой G-структурой порядка k соответствуют координатные лупы, допускающие каноническое разложение, аналогичное ряду Кэмпбела–Хаусдорфа: коэффициенты членов порядка выше k такого разложения являются комитантами коэффициентов меньшего порядка. Строгое доказательство этого факта дано в докторской диссертации А.М. Шелехова. Оно является следствием более общей доказанной им теоремы, по которой коэффициенты канонического разложения координатной лупы 3-ткани выражаются через основные тензоры этой ткани, входящие в ее структурные уравнения, и обратно: указанные тензоры могут быть выражены через коэффициенты канонического разложения.

Заметим, что понятие канонических координат в локальной аналитической лупе, обобщающее аналогичное понятие из теории групп Ли, было введено М.А. Акивисом в 1969 г. Существование таких координат было доказано позже в работе Дюфура и другим способом − в совместной работе М.A. Акивиса и А.M. Шелехова.

Из многочисленных результатов, полученных А.M. Шелеховым в его докторской диссертации, отметим еще один, касающийся введенных им G-тканей. Так названы ткани, допускающие транзитивную группу автоморфизмов. Показано, что только такие ткани допускают семейство адаптированных реперов, в которых все тензоры ткани становятся постоянными. (Отметим, что этот факт и способ его доказательства можно распространить и на другие дифференциально-геометрические структуры). Как оказалось, G-тканями являются многочисленные ткани, приведенные в качестве примеров в разных работах, в частности, все групповые ткани и ткани Муфанг, а также, например, найденные в диссертации А.M. Шелехова две единственные шестимерные 3-ткани с эластичными координатными лупами (так называются лупы, в которых выполняется тождество эластичности x(yx)=(xy)x).

Решение “конформных”, проблем Вильгельма Бляшке

В книге В. Бляшке “Введение в геометрию тканей”  (М., Физматгиз, 1959) сформулированы, в частности, две “конформные” задачи: перечислить все регулярные (параллелизуемые) 3-ткани, образованные пучками окружностей (круговая ткани), и привести примеры 4-тканей, образованных пучками сфер (сферическая ткань). Напомним, что ткань называется параллелизуемой или регулярной, если она эквивалентна ткани, образованной семействами параллельных плоскостей.

Решением первой задачи занималось несколько авторов (Балабанова, Эрдоган, Лазарева)  но, несмотря на кажущуюся простоту формулировки, она долго не поддавалась решению. Дело в том, что все авторы использовали путь, предложенный Бляшке − вычисляли кривизну ткани и приравнивали ее нулю. Этот путь приводил к громоздким вычислениям, которые в общем случае отчетливо никому довести до конца не удалось. За все время исследования было найдено всего 7 классов регулярных круговых тканей. А.M. Шелехов предложил другой путь, основанный на внешне весьма простом факте: он показал, что гладкая часть граничной кривой любой регулярной криволинейной 3-ткани принадлежит этой ткани. С помощью этого утверждения им было доказано, что кроме известных семи классов регулярных круговых 3-тканей других классов не существует. В совместной работе с В.Б. Лазаревой  теорема о границах регулярных криволинейных 3-тканей обобщена для регулярных (n+1)-тканей, образованных n+1 слоениями на многообразии размерности n. Этот результат дает возможность эффективно решить задачу классификации регулярных сферических 4-тканей.

Политическая деятельность

С 1995 по 1999 год А.М. Шелехов − депутат Тверской городской Думы, с 1999 по 2003 год − депутат Государственной Думы Российской Федерации от общественного объединения “Единство”, член Комитета Государственной Думы по образованию и науке, заместитель председателя Комиссии Государственной Думы по проблемам устойчивого развития.

Он является соавтором нескольких важных законопроектов, в том числе “О государственном стандарте образования”,  “О порядке проведения компенсационных выплат гражданам Российской Федерации”,  “О русском языке как государственном языке РФ”,  “О государственном регулировании генно-инженерной деятельности”  и других.

Большую работу А.М. Шелехов проводил в Комиссии по проблемам устойчивого развития. Активно участвовал в организации и проведении нескольких парламентских слушаний, в разработке стратегии устойчивого развития Российской Федерации и региональных стратегий устойчивого развития Краснодарского и Красноярского краев;  налаживал совместную работу по проблемам устойчивого развития с Комитетом Верховной Рады Украины по экологической политике, с депутатами Комиссии Будущего финского парламента, с научной общественностью Литвы; был одним из разработчиков доклада “Национальная оценка прогресса РФ при переходе к устойчивому развитию”,  представленного Правительством РФ на Всемирном Саммите ООН по устойчивому развитию в 2002 году в Йоханнесбурге, где был в составе  официальной делегации от России. Во многом благодаря энергичной и плодотворной деятельности А.М. Шелехова удалось осуществить конструктивное взаимодействие Комиссии с Правительством РФ при обсуждении  проблем устойчивого развития России.

Будучи депутатом Государственной Думы, А.М. Шелехов прилагал много усилий для налаживание нормальных отношений со странами СНГ, считая эту деятельность наиболее важным аспектом внешней политики России. С этой целью он несколько раз бывал в Грузии и Армении. В 2001 году украинские журналисты вручили ему диплом “Лидер народного доверия”.

А.М. Шелехов ведет активную публицистическую деятельность, только в журнале “Российская Федерация сегодня”  им опубликованы 5 статей. Он − один из авторов монографии “Научная основа стратегии устойчивого развития Российской Федерации”  (Москва, 2002), которая стала победителем конкурса “Национальная экологическая премия”  за 2004 год. Он является автором многочисленных публикаций по проблемам образования и устойчивого развития, а опубликованный им сборник статей “Между прошлым и будущим”  (2002 г.) рекомендован  в качестве учебного пособия для вузов по данной тематике. Его статья  “О роли России в решении глобальных проблем человечества”  вошла в книгу “Россия на пути к устойчивому развитию”   (Москва, 2003), подготовленную крупнейшими специалистами в области экологии и устойчивого развития.

А.М. Шелехов постоянно ведет активную общественную, научную и педагогическую работу. Будучи депутатом Государственной Думы, он неоднократно выступал с докладами на Берлинских встречах парламентариев и общественности  стран мира, посвященных выработке совместных действий в борьбе с терроризмом. Он один из авторов статьи “Современный терроризм в свете экологической безопасности”,  которая вошла в сборник избранных работ Российской Академии наук за 2005 год.

Большую общественную работу А.М. Шелехов ведет как заместитель председателя Высшего экологического совета при Комитете Государственной Думы по  экологии. Кроме того, за период с 2000 года им решено несколько рупных математических проблем, результаты опубликованы в центральных журналах соответствующего профиля.  Отметим также его статью “Математическая модель ипотечного кооператива”,  в ней строго обоснованы условия, при которых накопительный кооператив не  является “пирамидой”.

А.М. Шелехов −  член центральной контрольно-ревизионной комиссии партии “Единая Россия”,  президент межрегиональной общественной организации “Интеллигенция Новой России”.

В 2002 годы вышел из печати поэтический сборник  А.М. Шелехова “Неизбранные стихотворения”.

Мы, коллеги и друзья Александра Михайловича, желаем ему здоровья, счастья и радости новых открытий.

А.Т. Фоменко, В.В. Гольдберг, В.Ф. Кириченко, В.В. Лычагин.