А.М. Шелехов – International Geometry Center

К 65-летию со дня рождения.

Александр Михайлович Шелехов родился 30 октября 1942 года в Перми. В 1945 году семья переехала в город Орехово-Зуево Московской области. Математические способности у Александра Шелехова проявились еще в школе, которую он закончил в 1959 году с серебряной медалью.

Всерьез заниматься математикой А.М. Шелехов начал на физико-математическом факультете Орехово-Зуевского педагогического института под руководством профессора Романа Марковича Гейдельмана, ученика выдающегося российского геометра Сергея Павловича Финикова. После окончания института (1964 г.), отслужив в армии, он поступает в аспирантуру по специальности “Геометрия и топология”. После успешного окончания аспирантуры в 1968 году он был распределен в Калининский пединститут (с 1971 года − Тверской государственный университет), где прошел путь от ассистента до почетного профессора и заведующего кафедрой функционального анализа и геометрии.

А.М. Шелехов − член двух докторских советов, руководит аспирантами и докторантами. В 2001 году, будучи Депутатом Государственной Думы третьего созыва, он уходит с поста заведующего кафедрой, но остается на ней как совместитель. Он продолжает читать курс дифференциальной геометрии, руководит курсовыми и дипломными работами, аспирантурой. Он читал курсы высшей и линейной алгебры, аналитической и дифференциальной геометрии, тензорного исчисления, различные геометрические спецкурсы. Им написано большое количества пособий по этим курсам, две монографии.

В 1997 году, после того, как студентам гуманитарных специальностей ввели обязательный курс математики, А.М. Шелехов (в соавторстве с Н.Б. Тихомировым) разработал курс математики для юридических специальностей. Курс был несколько раз им прочитан в Тверском институте экологии и права и в Высшей школе экономики в Москве. По мотивам этих лекций был написан учебник, который дважды переиздавался.

Научная работа

Работы по линейчатой геометрии

Со времени обучения в аспирантуре А.М. Шелехов активно работает на семинарах под руководством профессоров Р.М. Гейдельмана (Московский институт инженеров транспорта), В.Т. Базылева (Московский государственный педагогический институт), А.М. Васильева (Московский государственный университет), участвует практически во всех Всесоюзных и ежегодно проводимых Поволжских геометрических конференциях.

В 1968 он защищает кандидатскую диссертацию на тему “К теории комплексов прямых многомерных неевклидовых пространств”, в которой строит общую теорию комплексов (n-параметрических семейств) прямых в расширенном неевклидовом пространстве произвольной сигнатуры и рассматривает важнейшие специальные классы комплексов, в частности, при n=4. Первые работы по теории комплексов прямых появились еще в середине XIX века. Используя перенесение в проективное пространство, Плюккер подробно рассмотрел линейные и квадратичные комплексы.

Геометрию комплексов изучали С. Ли, Ф. Клейн, А. Фосс, Г. Кенигс. Большой вклад в эту теорию внес С.П. Фиников, который одним из первых начал применять в линейчатой геометрии метод внешних форм и подвижного репера Э. Картана. С помощью этого метода существенное продвижение в изучении теории комплексов было получено благодаря работам М.А. Акивиса, А.М. Васильева, Н.И. Кованцова, Р.Н. Щербакова, Г. Георгиева, И. Попа, В. Главатого, Г. Станилова и многих других. Комплексы прямых в трехмерных неевклидовых пространствах начали исследовать Б.А. Розенфельд и Н.И. Кованцов, многомерную проективную теорию комплексов начал развивать А.И. Дрейманас.

Систематическое изучение комплексов в многомерных неевклидовых пространствах впервые начал А.М. Шелехов. Он обобщил ряд известных понятий из трехмерной теории комплексов, и ввел ряд новых; дал геометрическую характеристику основных геометрических объектов и построил канонический репер комплекса; охарактеризовал комплексы, расслаивающиеся на нормальные конгруенции, рассмотрел их свойства; провел метрическую и проективную классификацию комплексов прямых в четырехмерном неевклидовом пространстве по типу ассоциированной кривой второго порядка и по типу ассоциированного гиперконуса, рассмотрел важнейшие классы таких комплексов; описал все комплексы, для которых нельзя построить канонический репер общего типа (расслаивающиеся на паратактические псевдоконгруенции, расслаивающиеся на линейные конгруенции с директрисами на абсолюте, расслаивающиеся двумя способами на слабопараболические конгруенции, фокальные поверхности которых вырождаются в двумерные линейчатые поверхности на абсолюте); классифицировал комплексы, аналогичные изотропным комплексам С.П. Финикова. Среди последних (всего найдено 12 классов) комплексы, расслаивающиеся на паратактические демиквадрики, лежащие в касательных плоскостях некоторой гиперповерхности; комплексы, расслаивающиеся на конгруенции, прямые которых касаются некоторой орисферы и пересекают прямую, касающуюся этой орисферы в ее центре; комплексы, расслаивающиеся на бинормальные конгруенции трехмерного пространства, фокальные поверхности которых есть эквидистанты с одной и той же базой, и т.д. Для всех выделенных специальных классов найден произвол существования.

Работы по теории 3-тканей

С 1970 года, познакомившись с работами профессора М.А. Акивиса (своего первого оппонента по кандидатской диссертации, в дальнейшем − друга и соавтора) по теории тканей, А.М. Шелехов увлекается этой проблематикой и начинает активно посещать семинар в Московском институте стали и сплавов, которым тогда руководили М.А. Акивис и В.В. Гольдберг. В конце 70-х годов А.М. Шелехов организует в Тверском университете специализацию и семинар по теории тканей. Под его редакцией с 1981 года начинает выходить ежегодный сборник трудов “Ткани и квазигруппы”, (с 1991 года − на английском языке). В специализации активное участие принимает М.А. Акивис, с которым они совместно издают ряд учебных пособий. В рамках этой деятельности подготовлено несколько кандидатских диссертаций и докторская диссертация А.М. Шелехова “Замкнутые G-структуры, определяемые многомерными 3-тканями”, (защищена в 1991 году).

В 1992 году они совместно с М.A. Акивисом опубликовали монографию “Geometry and Algebra of multidimensional Three-webs”, в которой были собраны все имеющиеся к тому времени результаты по теории многомерных 3-тканей и даны некоторые физические приложения этой теории. Всего, начиная с 1968 года, А.М. Шелеховым опубликовано в этой области, помимо указанной монографии и различных учебных пособий, еще два учебника и более 100 научных статей.

Инцидентностную структуру гладких k-тканей (то есть k семейств кривых или поверхностей) при k>2 начали изучать с точностью до локальных диффеоморфизмов еще в 20-х годах XX века В. Бляшке и его ученики − Томсен, Рейдемейстер, Кнессер, затем Бол. Они первые заметили, что алгебраические свойства бинарной операции, определяемой инцидентностной структурой 3-ткани (по современной терминологии − координатной квазигруппы 3-ткани), связаны с замыканием конфигураций определенного вида на многообразии ткани. Например, если всякая лупа, главноизотопная координатной квазигруппе ткани, является коммутативной лупой, то на соответствующей ткани замыкаются конфигурации, названные впоследствии конфигурациями T (Томсена), и обратно: в случае ассоциативности замыкаются конфигурации R (Рейдемейстера); тождеству моноассоциативности (xx)x=x(xx) отвечает шестиугольная конфигурация H, и соответственно, класс тканей H. Позже появились конфигурации и ткани Бола Bl, Br и Bm, которым отвечают, соответственно, левое, правое и среднее тождества Бола; ткани Муфанг M, на которых замыкаются конфигурации Бола всех трех типов; другие, более сложные конфигурации, тождества и соответствующие классы тканей.

Многомерные 3-ткани W(r,r,r), образованные тремя слоениями размерности r на гладком многообразии размерности 2r, в середине 30-х годов начал изучать С.С. Черн, который ввел на 3-ткани каконическую аффинную связность (позднее названную М. Киккавой связностью Черна) и охарактеризовал с помощью основных тензоров этой связности указанные выше основные классы тканей T,R,H. Новый этап развития теории многомерных тканей начался с работ М.А. Акивиса в 1969 года, в которых он обобщил ряд важнейших понятий теории групп Ли для произвольной локальной аналитической лупы, построил структурную теорию многомерных 3-тканей, ввел важнейшие классы тканей, описал их геометрическое строение и нашел их тензорные характеристики. Этот новый этап был подготовлен созданием мощного аппарата дифференциально-геометрических исследований Картана-Финикова-Лаптева-Васильева. С другой стороны, начиная с 50-х годов все более усиливается интерес математиков и физиков к неассоциативным лупам и нелиевым алгебрам. Кроме того оказывается, что теория тканей связана со многими классическими областями математики: классической дифференциальной геометрией, проективной и алгебраической геометрией, римановой геометрией и ее обобщениями, теорией расслоенных пространств, теорией функций и вариационным исчислением, аксиоматическим обоснованием проективной геометрии, с теорией дифференциальных уравнений и т.д. В результате, начиная с 70-х годов, появляется большой цикл работ, в первую очередь − М.A. Акивиса, В.В. Гольдберга и их учеников, посвященных различным вопросам теории тканей.

В одной из своих работ 1975 года М.A. Акивис ввел понятие замкнутой структуры на дифференцируемом многообразии. Замкнутость порядка k означает, что все структурные тензоры, связанные с дифференциально-геометрической окрестностью порядка выше k, выражаются через тензоры, связанные с дифференциально-геометрической окрестностью порядка k, причем k есть наименьшее из чисел, обладающих таким свойством. Довольно просто устанавливалось, что известные классы 3-тканей T, R, M и Бола обладают замкнутой G-структурой. Координатные лупы перечисленных этих классов тканей являются, соответственно, абелевыми группами, группами, лупами Муфанг и лупами Бола, то есть характеризуются, если можно так выразиться, различной степенью коммутативности и ассоциативности. Например, в координатных лупах тканей Bl и только в них выполняется тождество левой альтернативности x(xy)=(xx)y. Поэтому естественно возник вопрос (проблема поставлена М.A. Акивисом в 1975 году), является ли замкнутой G-структура 3-тканей H, в координатных лупах которых выполняется тождество моноассоциативности x(xx)=(xx)x − наиболее более слабый вариант ассоциативности? При r=2 проблема была положительно решена В. Боцу в 1984 году. Однако его метод рассуждений, существенно использующий четырехмерность, невозможно было применить в общем случае. Таким образом, возникла проблема изучения классов многомерных 3-тканей с замкнутой структурой, которой и была посвящена докторская диссертация А.М. Шелехова. Проблема оказалась очень сложной и в идейном и в вычислительном аспектах. Главный результат, полученный Шелеховым в этом направлении, есть доказательство того, что G-структура, определяемая шестиугольной 2r-мерной три-тканью W, является замкнутой G-структурой четвертого порядка. Для доказательства этого факта пришлось детально описать строение дифференциально-геометрического объекта произвольного порядка многомерной 3-ткани (до третьего порядка включительно это было сделано М.A. Акивисом).

Дальнейшее обобщение основной теоремы связано с понятием тождества с одной переменной порядка k. Пусть Q − локальная аналитическая лупа с операцией (“), S1(x) и S2(x) − некоторые слова длины n от одной переменной x в лупе Q. Разложив произведение x”y в лупе Q в ряд, мы можем вычислить разность S1(x) – S2(x). Порядок первого слагаемого в этом разложении зависит от расстановки скобок в словах S1(x) и S2(x). Если разложение начинается с членов порядка k+1, то будем говорить, что тождество S1(x) = S2(x) имеет порядок k. Поскольку каждое слово от одной переменной − это граф (дерево), то вид разложения определяется структурой двух деревьев, то есть двумя конечными наборами натуральных чисел. Это обстоятельство дало возможность провести А.М. Шелехову в двух совместных работах с В.А. Биллигом (естественно, с помощью компьютера) классификацию тождеств порядка 4 до длины 12.

Оказалось, что таких тождеств существует всего 6 длины 10, 58 длины 11 и 298 длины 12. Далее было доказано, что если в координатных лупах аналитической 3-ткани выполняются k-2 в определенном смысле независимых тождеств порядка k-1, то G-структура такой ткани будет замкнутой структурой порядка 2k-2. Оказалось, что среди тождеств порядка 4 длины 10 всего одно независимое, среди тождеств длины 11 можно найти 7 таких, что любые 3 независимые из них приводят к замкнутым структуры восьмого порядка.

В вышеупомянутой работе М.A. Акивиса о замкнутых G-структурах было замечено, что каждому классу тканей с замкнутой G-структурой порядка k соответствуют координатные лупы, допускающие каноническое разложение, аналогичное ряду Кэмпбела–Хаусдорфа: коэффициенты членов порядка выше k такого разложения являются комитантами коэффициентов меньшего порядка. Строгое доказательство этого факта дано в докторской диссертации А.М. Шелехова. Оно является следствием более общей доказанной им теоремы, по которой коэффициенты канонического разложения координатной лупы 3-ткани выражаются через основные тензоры этой ткани, входящие в ее структурные уравнения, и обратно: указанные тензоры могут быть выражены через коэффициенты канонического разложения.

Заметим, что понятие канонических координат в локальной аналитической лупе, обобщающее аналогичное понятие из теории групп Ли, было введено М.А. Акивисом в 1969 г. Существование таких координат было доказано позже в работе Дюфура и другим способом − в совместной работе М.A. Акивиса и А.M. Шелехова.

Из многочисленных результатов, полученных А.M. Шелеховым в его докторской диссертации, отметим еще один, касающийся введенных им G-тканей. Так названы ткани, допускающие транзитивную группу автоморфизмов. Показано, что только такие ткани допускают семейство адаптированных реперов, в которых все тензоры ткани становятся постоянными. (Отметим, что этот факт и способ его доказательства можно распространить и на другие дифференциально-геометрические структуры). Как оказалось, G-тканями являются многочисленные ткани, приведенные в качестве примеров в разных работах, в частности, все групповые ткани и ткани Муфанг, а также, например, найденные в диссертации А.M. Шелехова две единственные шестимерные 3-ткани с эластичными координатными лупами (так называются лупы, в которых выполняется тождество эластичности x(yx)=(xy)x).

Решение “конформных”, проблем Вильгельма Бляшке

В книге В. Бляшке “Введение в геометрию тканей” (М., Физматгиз, 1959) сформулированы, в частности, две “конформные” задачи: перечислить все регулярные (параллелизуемые) 3-ткани, образованные пучками окружностей (круговая ткани), и привести примеры 4-тканей, образованных пучками сфер (сферическая ткань). Напомним, что ткань называется параллелизуемой или регулярной, если она эквивалентна ткани, образованной семействами параллельных плоскостей.

Решением первой задачи занималось несколько авторов (Балабанова, Эрдоган, Лазарева) но, несмотря на кажущуюся простоту формулировки, она долго не поддавалась решению. Дело в том, что все авторы использовали путь, предложенный Бляшке − вычисляли кривизну ткани и приравнивали ее нулю. Этот путь приводил к громоздким вычислениям, которые в общем случае отчетливо никому довести до конца не удалось. За все время исследования было найдено всего 7 классов регулярных круговых тканей. А.M. Шелехов предложил другой путь, основанный на внешне весьма простом факте: он показал, что гладкая часть граничной кривой любой регулярной криволинейной 3-ткани принадлежит этой ткани. С помощью этого утверждения им было доказано, что кроме известных семи классов регулярных круговых 3-тканей других классов не существует. В совместной работе с В.Б. Лазаревой теорема о границах регулярных криволинейных 3-тканей обобщена для регулярных (n+1)-тканей, образованных n+1 слоениями на многообразии размерности n. Этот результат дает возможность эффективно решить задачу классификации регулярных сферических 4-тканей.

Политическая деятельность

С 1995 по 1999 год А.М. Шелехов − депутат Тверской городской Думы, с 1999 по 2003 год − депутат Государственной Думы Российской Федерации от общественного объединения “Единство”, член Комитета Государственной Думы по образованию и науке, заместитель председателя Комиссии Государственной Думы по проблемам устойчивого развития.

Он является соавтором нескольких важных законопроектов, в том числе “О государственном стандарте образования”, “О порядке проведения компенсационных выплат гражданам Российской Федерации”, “О русском языке как государственном языке РФ”, “О государственном регулировании генно-инженерной деятельности” и других.

Большую работу А.М. Шелехов проводил в Комиссии по проблемам устойчивого развития. Активно участвовал в организации и проведении нескольких парламентских слушаний, в разработке стратегии устойчивого развития Российской Федерации и региональных стратегий устойчивого развития Краснодарского и Красноярского краев; налаживал совместную работу по проблемам устойчивого развития с Комитетом Верховной Рады Украины по экологической политике, с депутатами Комиссии Будущего финского парламента, с научной общественностью Литвы; был одним из разработчиков доклада “Национальная оценка прогресса РФ при переходе к устойчивому развитию”, представленного Правительством РФ на Всемирном Саммите ООН по устойчивому развитию в 2002 году в Йоханнесбурге, где был в составе официальной делегации от России. Во многом благодаря энергичной и плодотворной деятельности А.М. Шелехова удалось осуществить конструктивное взаимодействие Комиссии с Правительством РФ при обсуждении проблем устойчивого развития России.

Будучи депутатом Государственной Думы, А.М. Шелехов прилагал много усилий для налаживание нормальных отношений со странами СНГ, считая эту деятельность наиболее важным аспектом внешней политики России. С этой целью он несколько раз бывал в Грузии и Армении. В 2001 году украинские журналисты вручили ему диплом “Лидер народного доверия”.

А.М. Шелехов ведет активную публицистическую деятельность, только в журнале “Российская Федерация сегодня” им опубликованы 5 статей. Он − один из авторов монографии “Научная основа стратегии устойчивого развития Российской Федерации” (Москва, 2002), которая стала победителем конкурса “Национальная экологическая премия” за 2004 год. Он является автором многочисленных публикаций по проблемам образования и устойчивого развития, а опубликованный им сборник статей “Между прошлым и будущим” (2002 г.) рекомендован в качестве учебного пособия для вузов по данной тематике. Его статья “О роли России в решении глобальных проблем человечества” вошла в книгу “Россия на пути к устойчивому развитию” (Москва, 2003), подготовленную крупнейшими специалистами в области экологии и устойчивого развития.

А.М. Шелехов постоянно ведет активную общественную, научную и педагогическую работу. Будучи депутатом Государственной Думы, он неоднократно выступал с докладами на Берлинских встречах парламентариев и общественности стран мира, посвященных выработке совместных действий в борьбе с терроризмом. Он один из авторов статьи “Современный терроризм в свете экологической безопасности”, которая вошла в сборник избранных работ Российской Академии наук за 2005 год.

Большую общественную работу А.М. Шелехов ведет как заместитель председателя Высшего экологического совета при Комитете Государственной Думы по экологии. Кроме того, за период с 2000 года им решено несколько рупных математических проблем, результаты опубликованы в центральных журналах соответствующего профиля. Отметим также его статью “Математическая модель ипотечного кооператива”, в ней строго обоснованы условия, при которых накопительный кооператив не является “пирамидой”.

А.М. Шелехов − член центральной контрольно-ревизионной комиссии партии “Единая Россия”, президент межрегиональной общественной организации “Интеллигенция Новой России”.

В 2002 годы вышел из печати поэтический сборник А.М. Шелехова “Неизбранные стихотворения”.

Мы, коллеги и друзья Александра Михайловича, желаем ему здоровья, счастья и радости новых открытий.

А.Т. Фоменко, В.В. Гольдберг, В.Ф. Кириченко, В.В. Лычагин.